<disclaimer>NON intendo esprimere altro che i più profondo rispetto per gli intellettuali che nomino in questo post. Essi sono infinitamente più saggi e acuti di quanto io sarò mai, e non sono che polvere sotto i loro piedi. Ma questa è internet, quindi bisogna pure editare e commentare, anche e soprattutto i Grandi. Ecco quindi la mia classifica degli errori matematici commessi dai guru della rete!</disclaimer>

1. Primo premio al grande Howard Rheingold, in Smart Mobs, dove ci descrive la legge di Reed e la paragona a quella di Metcalfe. Così:

[…] il valore di [una rete di] dieci nodi è cento (dieci alla seconda potenza) secondo la legge di Metcalfe e 1024 (due alla decima potenza) secondo la legge di Reed […]. [p. 60]

In realtà queste formule non rappresentano il valore di una rete. Una rete di dieci nodi varrebbe quindi 1024… cosa? Dollari? Pistacchi? Biglietti della lotteria? Ovviamente no. La risposta è che il numero 1024 non è affatto un valore, ma il numero di sottogruppi possibili in un grafo con dieci nodi tutti connessi tra loro. La formulazione corretta - usata infatti da David Reed stesso - è che il valore di una rete in cui si possono formare gruppi (group-forming network) di N nodi cresce proporzionalmente al numero dei sottogruppi in essa possibile, e quindi esponenzialmente a N. In più le formule usate da Rheingold - e quindi i risultati - sono proprio sbagliate: dieci nodi hanno 10x(10-1)/2 = 45 connessioni e non cento, e i sottogruppi possibili sono 2 elevato alla decima potenza meno 11, quindi 1013 e non 1024.

2. Secondo premio a uno dei miei autori preferiti, Clay Shirky. In Here comes everybody - libro splendido - Clay descrive in modo corretto la soluzione di equilibrio all’ultimatum game (buffo, ne avevo parlato qui). Poi racconta ciò che avviene giocandolo nei laboratori di economia sperimentale:

[…] in pratica, tuttavia, il secondo giocatore si rifiuta di accettare una divisione percepita come troppo diseguale (meno di $3 sui $10 totali) anche se questo significa che nessuno dei giocatori riceverà alcunché. Contraddicendo la classica teoria economica, in altre parole, abbiamo una volontà di punire coloro che ci trattano ingiustamente anche sopportando costi [..] [p. 134]

Questo non è proprio un errore matematico, ma omette una cosa talmente importante da mettere a rischio la conclusione, e cioè che questi risultati sperimentali sono viziati da un sacco di problemi, di cui il principale è che dipendono dai valori assoluti dei premi, e non solo dalla divisione proposta. Se giocate l’ultimatum game con 1 miliardo di dollari, e il primo giocatore vi offre un centesimo di quella somma, cioè dieci milioni di dollari, voi intascate i dieci milioni, non vi rinunciate per il gusto di togliere a lui 990 milioni! La questione è aperta, e sarebbe opportuno descriverla come tale.

3. Infine, premio simpatia al guru dei guru Chris Anderson che ha recentemente dedicato un post molto acuto al rischio di generalizzazioni. E scrive:

Ma ora stiamo entrando in un mondo di insiemi infiniti, e questo sconvolge le nostre abitudini linguistiche. Qual’è il numero di “scrittori” in’era di blog, il numero di “fotografi” in un’era di Flick e di macchine fotografiche incorporate nei cellulari, o “videomakers” nell’era di YouTube?

Pura saggezza di guru. Il problema è nel titolo del post: “Tredici parole che perdono significato quando il denominatore tende all’infinito”. Le parole sono locuzioni che servono alla generalizzazione, come “la maggior parte” (”la maggior parte dei blog”, per esempio), o “la media” (”il video su YouTube medio”, per esempio) . Come i lettori di Chris hanno fatto notare (leggete i commenti, sono divertentissimi), è certamente vero che dire “i blog sono personali” è una generalizzazione insensata, ma questo non ci accucchia proprio niente con denominatori e infiniti. Una frase come “per la maggior parte del tempo passato e futuro, gli umani non sono esistiti e non esisteranno” è vera anche se il denominatore (l’età dell’universo al momento del Big Crunch) è quanto di più vicino all’infinito possiamo concepire. Dopo una raffica di commenti di questo tipo, Chris commenta a sua volta:

Sì, potete contarmi tra quelli che a volte usano il linguaggio matematico in modo approssimativo per esprimere un’opinione. Ma almeno io lo ammetto!

Come si fa a non volergli bene, a uno così?

Ritorno a bocce ferme sulla faccenda dell’inedita strategia di prezzo adottata dai Radiohead per il loro ultimo album “In Rainbows”. Come ricorderete che l’album era stato reso disponibile per il download. Non c’era un prezzo fisso, ma piuttosto un meccanismo di offerta libera: chi scaricava poteva non pagare niente, o determinare egli stesso il prezzo da pagare. I risultati sono stati abbastanza controversi: secondo alcuni (per esempio la BBC) è andata male, per altri (come il gruppo stesso, intervistato da Wired) è andata benissimo. Per un verdetto finale avremmo bisogno di dati affidabili sui pagamenti, ma quelli li hanno solo i Radiohead stessi e se li tengono ben stretti, dichiarazioni a parte.

Però c’è un aspetto della storia che è molto chiaro anche senza i dati, e cioè la struttura strategica del rapporto tra i Radiohead e i loro fans. Chi frequenta la teoria dei giochi sa che esiste un semplice gioco a due stadi che descrive molto bene l’operazione di “In Rainbows”, e cioè l’ultimatum game. Funziona così: c’è un dollaro da dividere tra due persone. Il primo giocatore a muovere offre al secondo una ripartizione di questo valore; il secondo può accettare o rifiutare. Se accetta si realizza la ripartizione proposta dal primo, se rifiuta nessuno dei due prende niente. Questo gioco ha un unico equilibrio perfetto nei sottogiochi, che è che il primo giocatore offre al secondo un centesimo, tenendo per sé gli altri 99, e il secondo accetta. Può sembrare iniquo, ma è razionale: nessuno dei due ha nulla da guadagnare a cambiare strategia. Il secondo può rifiutare, ma così perderebbe anche quell’unico centesimo. Il primo può fare un’offerta più generosa, ma dovrebbe rinunciare a parte del denaro. Il prezzo a offerta libera di “In Rainbows” somiglia moltissimo a un ultimatum game: il valore dell’album è la somma da dividere, il primo giocatore è il singolo acquirente, che deve decidere quale prezzo pagare, i Radiohead sono il secondo giocatore. Due osservazioni:

1. se i dati dichiarati dal gruppo sono anche minimamente attendibili, moltissima gente ha giocato strategie non di equilibrio, pagando somme molto significativamente diverse da zero. Questo però è “normale” scostamento dei dati sperimentali dall’equilibrio matematico.
2. soprattutto - dicono molti commentatori - non si capisce per quale motivo i Radiohead hanno voluto strutturare la loro interazione con il mercato in un modo così “suicida”.

A me sembra tutto chiarissimo. Immaginate di fare un album, che ovviamente incorpora valore (ci avete lavorato un anno e mezzo e speso un sacco di quattrini). Appena esce - è ovvio - qualcuno lo condivide su eMule/bitTorrent. A questo punto ogni singolo ascoltatore di musica ha tre opzioni: comprare l’album a 20 euro in negozio; comprarlo a 10 euro su Apple Music Store; scaricare gratis. Voi non potete fare altro se non accettare l’”offerta”. In altre parole, il mercato della musica registrata è già strutturato come un ultimatum game; la variante dei Radiohead però ha due vantaggi, quello di permettere la discriminazione di prezzo (mi si permette di pagare 5 euro se ritengo che quello sia il prezzo giusto, in una situazione normale avrei semplicemente scaricato gratis) e quello di costruire reciproca fiducia tra la band e i suoi fans.

Il cantante Thom Yorke ha dichiarato che il gruppo ha guadagnato 8-10 milioni di dollari nella prima settimana dell’operazione “In Rainbows”. Personalmente lo ritengo plausibile. Visto che la teoria dei giochi a qualcosa serve? (Una trattazione più completa è qui).